朝、電車に乗るために駅まで歩いている途中に

何故か、

むかーし数学でやった

cos(α+β)

の式が気になってしまった。

なぜ、って、、、

なんでもないんだけどたまにそんな時があるのだ。

さて、
ちなみに皆さん覚えているだろうか？

cos(α+β) = cosα•cosβ – sinα•sinβ

ちなみに私は覚えていなかった。そんなもんだ。

20年近く前に覚えたっきりまったく使っちゃいない公式何ぞを覚えていたら、たいしたもんだ。

たいしたもんではない私はそんなもの覚えているわけがないので、

導くことにするわけです。

※ちなみに以下の導入法は何かを読んだりして確認したものではない。元塾講師としては合ってると思っているけど、『最善』の『模範的』な解法かなんて知らん。自分で考えなさい。そういうことワ

以下は通勤電車に揺られながらiPadアプリの”Adobe Idea”で書いたメモ。コレ使える。

まず、

以下の図

のように考えてみる。

半径１の円の中に、

をこんなカンジで書いてみる。

なんでそんなの書くか、って？

勘だよ。そんなの。

うまく導けなかったらケツまくるのさ。
でも今回はうまく解けた。

さて、

よーく見ればわかるんだけど、

この図の中にはまぁ色々と相似の図形が含まれている。

わかりやすく色付けするとこんなカンジだ。

赤の三角形と緑の三角形が相似である。

まぁ絵を見てなんとなくでもいいんだけど、

「２組の角の角度が等しいから」というのがきちんとした理由だ。

言うまでもないが三角形で２組の角の角度が等しいということは残りの一個の角度も等しい。
つまり全部の角度が等しいわけね。

さて、続けよう。

それぞれの辺の長さをαとかβを使って表現すると最初の図にちょいちょいメモ書きしてあるとおりだ。

ここでsin(α+β)を登場させないことがポイント。

なんでってここではcos(α+β)を知りたいだけなのでsinも出てきたらめんどいからだ。

解けなくなるわけではない、めんどいだけだ。

# sin^2 + cos^2 = 1
# があるから解けるは解けるんだぜ、ってめんどいだろ？

で、

２つの相似の図形に関しては

それぞれの対応する辺が

A:B = A’:B’

という等式を満たすことは感覚的にわかると思う。

そんな深い話じゃない。相似図形なら比率は同じだよってだけの意味だ。

さて、これに実際の値を代入して式を整理すると以下のカンジだ。

無事、

cos(α+β) = cosα•cosβ – sinα•sinβ

が出てきた。

めでたしめでたし、これでグッスリ眠れるね。

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