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「単振り子」と「1秒」と「1m」


先日のポスト「六十進数」の際に

1年は360日 → 1年は12ヶ月 → 1ヶ月は30日
→ 1日は24時間 → 1時間は60分 → 1分は60秒

という調子で時間を表す単位が定まっていったという話を挙げた。

さて一方、私の記憶。

こんなことも覚えている

都立青〇高校199◯年卒、かつ2年時に7組に所属していた人間なら覚えているはずだ。笑

当時我々の物理担任だった◯バ◯シ先生(あのちょっとしゃべりがお◯マっぽいひと)が言っていた。

「長さが1mのひもの先に重しを付けて振り子を作ったらその周期が1秒」

だと。

うーん、実際、記憶があやふやだ。

なにせ15年以上前の話になるわけだから。

んじゃあ計算してみようじゃない

さて、

とりあえず

振り子の周期

について考えてみる。

重りの重さをm、振り子のスタート地点をθとして力はこんなカンジだ。

単振り子

ちなみに軸は円弧方向をx軸として取っている。別に直線である必要はない。

で、この力の式を整理するとこんなカンジだ。

力の式を整理

近似を使ってるのは単純化するためなんだけど、

なんでコレができるかってことを言うと、
ぶっちゃけ

「振り子の周期は変位の初期状態に関係がないことを知っているから」

だ。

つまりいっぱい引き上げて手を離そうと、(x が大きい)
ちょっとだけ引き上げて手を離そうと、(x が小さい)

結果が同じだということを知っている。

まぁちょっとしたズルなんだけど、このズルを使わないと
テイラー展開を使ってゴリゴリ計算することになるのでそれはおっさん的にはゴメンだ。

もっと手を抜きたい。

なので一般化可能であることを前提に『x << l』のケースを採用する。


さて、そうすると最後の式は、、、どっかで見たことがある。

そう摩擦の無い平面上でバネ付けてビヨ〜ンビヨ〜ンする場合の式と同じだ。

バネの式

こんなやつね。

さて、だからといって

「バネ振動の周期の公式は??」

なんてつまらないことは言わない。

もうちょっと頭使って考えてみよう。

ちなみにここでは

距離の微分=速さ
速さの微分=加速度

という関係を使っている。



さて、

バネの場合と同様のノリで式を整理するとこんなカンジ。

微分方程式を整理

さて、ここで、

二回も微分したのに何かしらの実数が出るだけ
ってこれはかなり特殊なケースであることに気付く必要がある。

だって普通は例えば『f(x) = x^3』を微分していく過程を考えたら

二回微分の一般例

やっぱ『実数が出るだけ』なんかには到底ならない。

つまり、これは特殊なケースで実は以下のケースしか考えられない。

特殊解

さーて、ほぼ核心に迫ってきましたな。

以降はこれらの式のどれを採用しても結果は変わらないので
まぁいいや、とりあえず一番上のやつにしよう。

一番上のやつを微分すると

ωを解く

こんな形でωについて整理できた。

えーと、そして角速度ωから周期が計算できる

周期の式


よーし、とうとうここまで来た!
喜び勇んで代入してみようー

棒の長さlを1m、
重力加速度gを9.8m/s、
円周率πを3.14として計算してみると、

√9.8 = 約3.13なので

代入して周期を計算

ホントに周期は約2秒(つまり右から左に振れると1秒)だ!

カッチ、コッチ、カッチ、コッチ、ホントに1秒ずつだ!!

「おおーすげぇ偶然っ!」

って思う?

ちゃいますちゃいます。

ちょっと考えればわかると思うんだけど、むしろ逆ね。

つまり、こうやって『m(メートル)』は決められたんだと言われている。


さて、少々蛇足だが単位について思いを馳せると、

例えば、feetは足の長さから来てる、
yardってどこかの庭の広さなのだろうか?

アメリカでは「m(メートル)」は一般的ではなくて普通「mile(マイル)」を使う
マイルは1マイル=1000歩の幅として定義されたらしい。

うーん、ルーツはわかりやすいけど、、、

値がわかりにくいわ!(だって個人差とかさぁ)

一方、

1立方メートルの水の量は1ℓ(リットル)

1ℓの水の重さは1kg

なのだ。

ひじょーに整理されている。

アメリカでは重さはlb(ポンド)を使うが
1ポンドの定義は大麦7000粒(一日分のパンを焼くのに使う分量)として定められた

って、オイオイ。。。

まぁ当然現在はその単位量自体はしっかり定義され管理されているわけだけど、

うーん、、、アメリカで使ってる単位ってテキトーであやふや。。
なんでこんなのを延々と使い続けてるんだろう?

早めにきちんとした単位に統一して欲しいものだ。


えーと、蛇足その2

ちなみに途中の近似を使わないとどうなるかってのはかなりめんどい。
なのでここで細かいことを書くつもりはないんだけど、
簡単に言うと
テイラー展開での『第一項』が今回使った近似の式そのもので、
第二項以下の影響力はだいたい60度以上傾けると無視できなくなるんじゃないかなぁと想像する。

厳密な計算に興味ある人はそこ突っ込んでみても面白いかもね。



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